$(a+b)^4=a^4+4a^3 b+6a^2 b^2+4ab^3+b^4$

$(5x+1)^4=(5x)^4+4\cdot (5x)^3\cdot1+6\cdot(5x)^2\cdot1^2+4\cdot5x\cdot1^3+1^4=625x^4+500x^3+150x^2+20x+1$

Ответ: $a=625; b=500; c=150; d=20; e=1$.

Любое слагаемое в разложении степени бинома $T_{k+1}$ можно вычислить по формуле: $T_{k+1}=C_n^k a^{n-k} b^k$. Слагаемое не содержит $t$, если степень $t$ равна 0. Найдём номер слагаемого, для которого это выполняется:

$C_{12}^k a^{12-k} b^k=C_{12}^k (^5\sqrt{t})^{12-k} (\frac{1}{t})^k=C_{12}^k\cdot t^{\frac{1}{5}\cdot(12-k)}\cdot t^{-k}=C_{12}^k\cdot t^{2,4-0,2k-k}=C_{12}^k t^{2,4-1,2k}$

$2,4-1,2k=0$

$-1,2k=-2,4$

$k=2$

Получаем, что член, не содержащий $t$ при разложении $— 3$.

Ответ: $3$.

$T_{k+1}=C_n^k a^{n-k}b^k$

$k+1=9,$

$k=8.$

$T_9=C_{13}^8 (^5\sqrt{2})^{13-8}\cdot (\sqrt{5})^8=C_{13}^8 (^5\sqrt{2})^5\cdot 5^4=C_{13}^8\cdot 2\cdot 625=C_{13}^8\cdot 1250$

Ответ: $T_9=C_{13}^8\cdot 1250$, где $a=13; b=8; c=1250$.

$T_{k+1}=C_n^k a^{n-k} b^k$

$C_{110}^k\cdot 1^{110-k}\cdot(\sqrt{11})^k$ — наибольший член разложения.

$\begin{cases}C_{110}^k \cdot (\sqrt{11})^k>C_{110}^{k+1} (\sqrt{11})^{k+1}\\C_{110}^k \cdot (\sqrt{11})^k>C_{110}^{k-1} (\sqrt{11})^{k-1}\end{cases}$

$\begin{cases} \frac{110!~\cdot~ (\sqrt{11})^k)}{(110-k)!~\cdot ~k!)}>\frac{110!~\cdot~ (\sqrt{11})^{k+1}}{(110-k-1)!~\cdot~(k+1)!} \\ \frac{110!~\cdot~ (\sqrt{11})^k}{(110-k)!~\cdot~ k!}>\frac{110!~\cdot~(\sqrt{11})^(k-1)}{(110-k+1)!~\cdot~(k-1)!)}\end{cases}$

$\begin{cases} \frac{1}{110-k}>\frac{\sqrt{11}}{k+1} \\ \frac {\sqrt{11}}{k}>\frac{1}{110-k+1} \end{cases}$

$\begin{cases} 110-k<\frac{k+1}{\sqrt{11}} \\ \frac{k}{\sqrt{11}}<111-k \end{cases}$

$\begin{cases} 110\sqrt{11}-k\sqrt{11}<k+1 \\ k<111\sqrt{11}-k\sqrt{11}) \end{cases}$

$\begin{cases} k(1+\sqrt{11})>110\sqrt{11}-1 \\ k(1+\sqrt{11})<111\sqrt{11}) \end{cases}$

$\begin{cases} (k>\frac{110\sqrt{11}-1}{1+\sqrt{11}} \\ k<\frac{111\sqrt{11}}{1+\sqrt{11}} \end{cases}$

$\begin{cases} k>84,3 \\ k<85,3 \end{cases}$

$k=85$

Получаем:

$C_{110}^k\cdot 1^{110-k}\cdot (\sqrt{11})^k=C_{110}^{85}\cdot (\sqrt{11})^{85}$

Ответ: $a=110; b=85; d=11; e=85.$

Всего 201 член разложения. Слагаемые будут рациональными, если $\sqrt{11}$ возводить в чётную степень, а степень $^6\sqrt{7}$ будет в то же время кратна $6$:

$T_{k+1}=C_n^k a^{n-k} b^k$

$T_{k+1}=C_{200}^k\cdot (\sqrt{11})^{200-k}\cdot (^6\sqrt{7})^k=C_{200}^k\cdot 11^{100-\frac{k}{2}}\cdot 7^{\frac{k}{6}}$

$k=6m,$

$0≤6m≤200$

$0≤m≤33 \frac{1}{3}$

Количество рациональных слагаемых равно $34$.

Ответ: $34$.

$(^4\sqrt{x}+\frac{1}{x})^n$

$T_{k+1}=C_n^k a^{n-k} b^k$

$T_5=T_{4+1}=C_n^4 a^{n-4} b^4=C_n^4 (^4\sqrt{x})^{n-4} (\frac{1}{x})^4=C_n^4\cdot x^{\frac{1}{4}\cdot (n-4)}\cdot x^{-4}=C_n^2\cdot x^{\frac{1}{4} n-5}$

$\frac{1}{4} n-5=0$

$n=5\cdot4$

$n=20$

$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$

$A_{20}^5=\frac{20!}{(20-5)!}=\frac{20~\cdot ~19~\cdot ~18~\cdot ~17~\cdot ~16~\cdot ~15}{15!}=1860480$

Ответ: $n=20; A_{20}^5=1860480$.

$(a+b)^n=C_n^0 a^n b^0+C_n^1 a^{n-1} b^1+C_n^2 a^{n-2} b^2+⋯+C_n^k a^{n-k} b^k+⋯+C_n^n a^0 b^n$

$(5x-6)^{40}=C_{40}^0\cdot (5x)^{40}\cdot (-6)^0+C_{40}^1\cdot (5x)^{39}\cdot (-6)^1+C_{40}^2\cdot (5x)^{38}\cdot (-6)^2+⋯+C_{40}^k\cdot (5x)^{40-k}\cdot (-6)^k+⋯+C_{40}^{40}\cdot (5x)^0\cdot (-6)^{40}$

При $x=1$ получаем:

Левая часть уравнения: $(5\cdot 1-6)^{40}=1$

Правая часть уравнения — алгебраическая сумма коэффициентов:

$C_{40}^0\cdot (5\cdot 1)^{40}\cdot (-6)^0+C_{40}^1\cdot (5\cdot 1)^{39}\cdot (-6)^1+C_{40}^2\cdot (5\cdot 1)^{38}\cdot (-6)^2+⋯+C_{40}^k\cdot (5\cdot 1)^{40-k}\cdot (-6)^k+⋯+C_{40}^{40}\cdot (5\cdot 1)^0\cdot (-6)^{40}$

Таким образом алгебраическая сумма коэффициентов равна $1$.

Ответ: $1$.